Modelamiento teórico

Para esta parte del proyecto, vamos a realizar un modelo simplificado a partir de las ecuaciones de Reynolds para la masa, la energía y la cantidad de movimiento, para esto primero enunciaremos las ecuaciones que utilizaremos y las idealizaciones asumidas en el modelo, para luego trabajarlas en el volumen de control mediante análisis global del comportamiento dinámico del agua.

Conservación de la masa.
Asumimos que el agua es incompresible,por lo tanto no varía respecto al tiempo ni espacio, sin embargo, vamos a trabajar en régimen impermanente debido a queel volumen de control que vamos a considerar, que es el agua en el estanque va a disminuir con el tiempo, lo que afecta directamente al caudal, el cual va a variar en el tiempo debido al cambio de la velocidad,por lo tanto la ecuación nos queda:




Conservación de la Energía.
Acá las asunciones son que trabajamos bajo régimen permanente debido a que si bién la altura de agua va a cambiar con el tiempo, podemos asumir que no se va a tratar de una variación significativa respecto de la altura total que tendremos, que será de 2 metros, para el experimento y competencia, variará a lo más unos 20 cms lo que asumiendo un caso bastante simplificado podemos asumir régimen permanente. También asumiremos sistema adiabático, con energía interna despreciable, y donde no actuan fuerzas viscosas ni cambios de presión debido a singularidades, no obstante, estas dos últimas asunciones pueden no ser despreciables, y es por eso que tendremos en cuenta que la fuerza obtenida finalmente será mayor a la que realmente debiera ser.
la ecuación en este caso nos queda:



Ecuación de la conservación de cantidad de movimiento.
Derivada de esta ecuación general, se obtuvo la fuerza que mencionamos en la parte del diseño de la placa receptora, como conocemos el ángulo theta, nos resta determinar el caudal y la velocidad del chorro, pero además sabemos el área de la salida del estanque, por lo que sólo debemos determinar la velocidad de salida, es decir la velocidad del chorro.

Obtención de la velocidad.

De la ecuación de conservación de la masa deducimos que el cambio del volumen de control es igual a el caudal de salida con signo negativo,pero como el caudal es igual al área de salida por la velocidad de salida que denotaremos V2, nos queda:



Como la geometría del estanque es conocida, donde el área basal no cambia (A1=cte), entonces podemos representar el cambio de volumen sólamente mediante el cambio de altura del nivel de agua (h), donde en la parte superior del volumen de control obtendremos:



Y por la conservación de la masa, el caudal de salida es igual al caudal de entrada,
por lo tanto obtendremos V2 en función de la variación de altura en el tiempo que tenga el nivel de agua en el estaque.



Para determinar específicamente el segundo término de esta ecuación, debemos ir al laboratorio y mediante observación y medición obtener la variación de la altura para un tiempo determinado.

Para obtener la velocidad también podriamos haber ido directamente al laboratorio y medir el caudal que sale del chorro llenando un estanque de volumen conocido y medir el tiempo que demora en llenarse, y así obtener dividiendo el caudal por el área de salida, la velocidad V2.

Con la velocidad determinada, ahora reemplazamos en la fuerza obtenida en la parte de diseño de placa receptora del chorro, y ahí nos queda:



Con esta fuerza, luego aplicamos la segunda ley de Newton sobre el barco en dirección del movimiento del barco, donde obtendremos:



Esa fuerza viscosa queda determinada por la siguiente relación:



donde C sub D es un coeficiente empírico que depende del fluido y el área del barco se refiere al área que está sumergida en el agua, por lo que esta fuerza la determinaremos de manera empírica utilizando un estanque con velocidad de fluido regulable y conocida, y un dinamómetro, elementos que están disponibles en el taller del DIHA.

Una vez realizadas las mediciones correspondientes, realizaremos una predicción del tiempo que tardará el barco en recorrer 5 metros mediante la relación que obtuvimos anteriormente por la segunda ley de Newton.