Análisis de estabilidad 2.0

Con las nuevas dimensiones del barco, y logrando hacer mediciones empíricas y cálculos teóricos, hicimos el análisis de estabilidad. Primero, obtenemos que la línea de flotación está a unos 6cm del fondo del barco. Con esto, los momentos de inercia de la superficie de flotación son, respectivamente: 255937.5cm4 con respecto al eje transversal y 78750cm4 con respecto al eje longitudinal. Además, el volumen de carena es de 3825cm3 y el centro de carena está ubicado 8.5cm debajo de la superficie de cubierta. Por otro lado, el centro de masa del sistema, considerando la botella, está ubicado a 6.943cm por sobre cubierta. Con esto, tenemos que la distancia entre el centro de masa y el centro de carena es de 15.44cm. Finalmente, el cuociente entre el momento de inercia y el volumen de carena es, en el caso más restrictivo, igual a 20.59cm, valor que es mayor la distancia recién mencionada. Por lo tanto la condición de equilibrio es estable, lo que puede ser corroborado empíricamente, ya que el barco no se da vuelta al ser sometido a pequeñas perturbaciones.

Modificaciones al modelo inicial

Tras realizar una serie de pruebas empíricas se llego a la determinación de modificar el modelo inicial. La forma inicial cumplía la condición de equilibrio, ya que desplazaba un volumen adecuado de agua, lo que permitía generar un empuje suficiente para mantener a flote la embarcación. El problema fue con la estabilidad, debido a que cuando colocábamos la botella de Coca-Cola, se volcaba inmediatamente. Dado lo delgada que era la embarcación, esta tenía un bajo momento de Inercia, por lo que la condición de estabilidad no se cumplía. Esto nos llevo a tomar la decisión de que teníamos que ensanchar la embarcación, y por lo tanto, debíamos construir un nuevo modelo, que mantuviera la condición de equilibrio y que además fuera estable e hidrodinámico.
Nos juntamos un día domingo, decididos a reconstruir la Pelorus. Luego de varios minutos de discusión, decidimos que modelo debía ser de la forma que muestran las figuras:










Este diseño, cumple perfectamente la condición de equilibrio. Se logra desplazar un volumen de agua que lo permite. Para la estabilidad, se hiso necesario colocar un poco de peso en la base del barco, de esta manera se disminuía la distancia entre el centro de Carena y el centro de Gravedad. Además, como nuestra nueva embarcación es más ancha, se aumento el momento de inercia. Por estos dos motivos, se logro cumplir de buena manera la condición de estabilidad, y por lo tanto, La Pelorus quedo en condiciones de navegación.

Modelamiento teórico

Para esta parte del proyecto, vamos a realizar un modelo simplificado a partir de las ecuaciones de Reynolds para la masa, la energía y la cantidad de movimiento, para esto primero enunciaremos las ecuaciones que utilizaremos y las idealizaciones asumidas en el modelo, para luego trabajarlas en el volumen de control mediante análisis global del comportamiento dinámico del agua.

Conservación de la masa.
Asumimos que el agua es incompresible,por lo tanto no varía respecto al tiempo ni espacio, sin embargo, vamos a trabajar en régimen impermanente debido a queel volumen de control que vamos a considerar, que es el agua en el estanque va a disminuir con el tiempo, lo que afecta directamente al caudal, el cual va a variar en el tiempo debido al cambio de la velocidad,por lo tanto la ecuación nos queda:




Conservación de la Energía.
Acá las asunciones son que trabajamos bajo régimen permanente debido a que si bién la altura de agua va a cambiar con el tiempo, podemos asumir que no se va a tratar de una variación significativa respecto de la altura total que tendremos, que será de 2 metros, para el experimento y competencia, variará a lo más unos 20 cms lo que asumiendo un caso bastante simplificado podemos asumir régimen permanente. También asumiremos sistema adiabático, con energía interna despreciable, y donde no actuan fuerzas viscosas ni cambios de presión debido a singularidades, no obstante, estas dos últimas asunciones pueden no ser despreciables, y es por eso que tendremos en cuenta que la fuerza obtenida finalmente será mayor a la que realmente debiera ser.
la ecuación en este caso nos queda:



Ecuación de la conservación de cantidad de movimiento.
Derivada de esta ecuación general, se obtuvo la fuerza que mencionamos en la parte del diseño de la placa receptora, como conocemos el ángulo theta, nos resta determinar el caudal y la velocidad del chorro, pero además sabemos el área de la salida del estanque, por lo que sólo debemos determinar la velocidad de salida, es decir la velocidad del chorro.

Obtención de la velocidad.

De la ecuación de conservación de la masa deducimos que el cambio del volumen de control es igual a el caudal de salida con signo negativo,pero como el caudal es igual al área de salida por la velocidad de salida que denotaremos V2, nos queda:



Como la geometría del estanque es conocida, donde el área basal no cambia (A1=cte), entonces podemos representar el cambio de volumen sólamente mediante el cambio de altura del nivel de agua (h), donde en la parte superior del volumen de control obtendremos:



Y por la conservación de la masa, el caudal de salida es igual al caudal de entrada,
por lo tanto obtendremos V2 en función de la variación de altura en el tiempo que tenga el nivel de agua en el estaque.



Para determinar específicamente el segundo término de esta ecuación, debemos ir al laboratorio y mediante observación y medición obtener la variación de la altura para un tiempo determinado.

Para obtener la velocidad también podriamos haber ido directamente al laboratorio y medir el caudal que sale del chorro llenando un estanque de volumen conocido y medir el tiempo que demora en llenarse, y así obtener dividiendo el caudal por el área de salida, la velocidad V2.

Con la velocidad determinada, ahora reemplazamos en la fuerza obtenida en la parte de diseño de placa receptora del chorro, y ahí nos queda:



Con esta fuerza, luego aplicamos la segunda ley de Newton sobre el barco en dirección del movimiento del barco, donde obtendremos:



Esa fuerza viscosa queda determinada por la siguiente relación:



donde C sub D es un coeficiente empírico que depende del fluido y el área del barco se refiere al área que está sumergida en el agua, por lo que esta fuerza la determinaremos de manera empírica utilizando un estanque con velocidad de fluido regulable y conocida, y un dinamómetro, elementos que están disponibles en el taller del DIHA.

Una vez realizadas las mediciones correspondientes, realizaremos una predicción del tiempo que tardará el barco en recorrer 5 metros mediante la relación que obtuvimos anteriormente por la segunda ley de Newton.

Placa receptora del chorro

Luego de haber realizado la experiencia de Laboratorio sobre el chorro en el orificio, es fácil resolver que el mejor diseño para maximizar la fuerza de un chorro para aprovecharlo como fuerza para trasladar el barco, es con un receptor con forma semicircunferencial, ya que esta forma maximiza la fuerza que necesitamos. Es dado que la fuerza resultante en la placa es:



donde el ángulo theta corresponde al ángulo mostrado en la figura.


Entonces mientras más pequeño es este ángulo, mayor será nuestra fuerza, y para el caso de un receptor con forma de semicircunferencia, la dirección de salida es la misma que la dirección de entrada, pero en sentido contrario, por lo tanto el ángulo theta es cero. Por lo tanto es la mejor opción ya que para theta cero, tenemos la furza máxima disponible.
Para el caso de la construcción real, nos preocupamos de hacer lo más sensillo y semejante a una semicircunferencia y que además podamos modificar en altura, y es por eso que ocuparemos la parte superior de una botella que cortaremos, y la cual tiene una forma similar a la de una semicircunferencia y la cual sujetaremos con la tapa semicerrada a la embarcación. Como la parte superior de una botella no tiene un fondo circunferencial como deseamos debido a la salida donde está la tapa, lo que haremos será adozar un trozo de plástico de botella para cubrir la tapa y así impedir que el chorro llegue hasta el fondo de nuestro receptor. Los cálculos que haremos posteriormente serán asumiendo una semicircunferencia como placa receptora, aunque el trozo de botella no lo sea, pero es una buena aproximación para poder trabajar analíticamente.

Diseño preeliminar, análisis de flotación y estabilidad

Antes de comenzar a diseñar, primero consideramos las restricciones impuestas.

La primera y más importante es la botella con 1 litro de agua que tiene que soportar la Pelorus. Con esta primera condición podemos calcular el volumen de carena que necesita nuestra embarcación para flotar. Estimamos que la masa de la Pelorus no va a superar los 300 gramos, sumado a los 1000 gramos del agua de la botella, nuestro volumen de carena debe ser por lo menos de 1300 centímetros cúbicos. Para cumplir con este volumen, empezamos por diseñar un modelo tentativo de la Pelorus.

Vista de perfil:


Vista lateral:


Vista desde abajo:


Vista desde arriba:


Vista frontal y posterior:


Una vez con el diseño preeliminar listo, asignamos valores a las dimensiones de la Pelorus para asegurar flotabilidad. Obtuvimos que el volumen de carena de la Pelorus fue de 1305 centímetros cubicos.

Haciendo el equilibrio de fuerzas, es decir, igualando el empuje al peso, obtuvimos que la superficie superior de la Pelorus flota 5cm sobre la línea de flotación, donde el ancho y largo totales son de 8.5cm y 15cm, respectivamente.

Luego procedimos a analizar la estabilidad de la Pelorus. Para que el equilibrio sea estable, se debe cumplir que el cuociente entre el momento de inercia y el volumen de carena sea mayor a la distancia entre el cenrto de carena y el centro de gravedad.
En el eje longuitudinal tenemos un momento de inercia de 1063 centímetros a la cuarta y en el eje transversal 6191 centímetros a la cuarta.
El centro de gravedad de la Pelorus resultó estar a 3,153 centímetros por debajo de la superficie de flotación y el centro de carena a 3,817 centímetros.
El momento de inercia en el eje longuitudinal dividido por el volumen de carena es de 0,8145 cm y la distancia entre el centro de carena y el centro gravedad es 0,664cm. Por lo tanto, como esta última distancia es menor, concluimos que nuestra embarcación es estable. En el otro eje, como el momento de inercia es mayor, también es estable.

Diseño base y materiales de construcción

Para elegir una idea básica del diseño de la Pelorus, buscamos distintos diseños de embarcaciones que más se ajustaran a la situación que vamos a enfrentar en la competencia. Estas condiciones son que se necesita de una gran estabilidad, ya que va a haber un peso considerable encima de la Pelorus. Por otra parte la velocidad a la que se va a desplazar es relativamente baja, ya que su único impulso va a ser un chorro de agua. Buscando diseños de embarcaciones, encontramos que el que mejor se ajustaba a nuestra situación era el de una canoa. Esto ya que por su simplicidad seremos capaces de construirlo, dado su grandes propiedades hidrodinámicas perderemos poca energía del chorro de agua en roce y tendremos una buena estabilidad.

Para elegir los materiales de construcción, tuvimos en cuenta tres factores: costo, densidad y resistencia. Queríamos ocupar los materiales menos densos y más resistentes, como la fibra de vidrio, pero dado su alto valor optamos por otros más económicos.
Optamos por la madera de balsa por su baja densidad, ésta varia entre 0,1 y 0,15. Debido a que no podemos construir la Pelorus exclusivamente de la madera de balsa, porque colapsaría. Ocuparemos palos de maqueta para construir un reticulado, que estará cubierto por la madera de balsa. Este reticulado tendrá que ser capaz de sostener la botella con agua y soportar las presiones que ejercerá el agua sobre la madera de balsa. Cada paquete de palos de maqueta cuesta cerca de $340 y 2 láminas de chapa de madera balsa cuestan $510. Debido a los bajos costos no tendremos problemas con el límite de presupuesto establecido. El costo construcción no debería superar los $5.000.

Cronograma de trabajo

A continuación mostramos nuestro cronograma de trabajo a lo largo de las semanas hasta el día de la competencia final.

13-16 Octubre:
- Diseño preelimar de la Pelorus.
- Análisis de flotabilidad y estabilidad.
- Elección de materiales de construcción.

21-23 Octubre:
- Finalización del diseño de la Pelorus

26-30 Octubre:
- Compra de materiales.
- Construcción de la Pelorus.

5-6 Octubre:
- Pruebas de la Pelorus.
- Comparación de datos obtenidos en las pruebas de estabilidad y flotación con los teóricos obtenidos previamente.

20 Octubre:
- Competencia Final.

20 de Octubre por la noche:
- Celebración del primer lugar.